已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn-1=b

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n-1=b_n+（2n-1）（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）若c_n=

an•bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）∵S_n=3ⁿ，

∴S_n-1=3^n-1（n≥2）．

∴a_n=S_n-s_n=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1（n≥2）．

当n=1时，2•3⁰=2≠S₁=3，

∴an=

3，n=1

2•3n-1，n≥

2 （4分）

（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1）

∴b₂-b₁=1，

b₃-b₂=3，

b₄-b₃=5，

…

b_n-b_n-1=2n-3，

以上各式相加得

b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）=

(n-1)(2n-2)

=（n-1）²

∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．（9分）

（Ⅲ）由题意得Cn=

-3，n=1

2(n-2)•

3n-1，(n≥2)

当n≥2时，

T_n=-3+2•0×3+2•1×3²+…+2（n-2）×3^n-13T_n=-9+2•0×3²+2•1×3³+2•2×3⁴+…+2（n-2）×3ⁿ

相减得：-2T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）

T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）=

(2n-5)•3n+3

Tn=

-3，n=1

(2n-5)•3n+3

，n≥2

(2n-5)•3n+3