数列{an}中，已知a1=1，a2=2，若对任意正整数n，有anan+1an+2

问题选择题

数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，则该数列的前2010项和S₂₀₁₀=（　　）

A．2010

B．4020

C．3015

D．-2010

答案

依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，

∵a_n+1a_n+2≠1，

∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，

∴数列{a_n}是以3为周期的数列，

∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3

∴S₂₀₁₀=670×（1+2+3）=4020

故选B