定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的

问题解答题

定义：数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

a1+a2+…+an

．若数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

n+2

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{b_n}的前n项和S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

的值；
（3）已知cn=(

)n，问数列{a_n•c_n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意可得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=n（n+2）

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1

而a₁=S₁=3适合上式

∴a_n=2n+1

（2）由（1）可得，bn=tan=t^（2n+1）

∴

bn+1

t2n+3

t2n+1

=t²且，b₁=t³

∴{b_n}是以t³为首项，t²为公比的等比数列

当t=1时，S_n=n

lim

n→∞

Sn+1

n+1

当t≠1时，Sn=

t3(1-t2n)

1-t2

，

Sn+1

1-t2n+2

1-t2n

若0＜t＜1，

lim

n→∞

Sn+1

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

若t＞1，

lim

n→∞

Sn+1

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

lim

n→∞

t2n

- t2

t2n

-1

=t²

（3）由（1）可得，a_n•c_n=（(2n+1)•(

令D（n）=(2n+1)•(

)n，若D（n）最大

则

(2n+1)•(

)n≥(2n+3)•(

)n+1

(2n+1)•(

)n≥(2n-1)•(

)n-1

∴

2n+1≥

4(2n+3)

4(2n+1)

≥2n-1

∴

≤n≤

∵n∈N^*∴n=4，此时D（4）=9• (

)4最大