问题
解答题
| 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn=（an+1）2（n=1，2，3…）， （1）求{an}的通项公式； （2）设bn=
（3）在（2）的条件下，对任意n∈N*，Tn＞
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答案
（1）∵4Sn=（an+1）2，①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②
①-②得
4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2．
∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2．
化简得（an+an-1）•（an-an-1-2）=0．
∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）．
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）bn=
=1 an•an+1
=1 (2n-1)(2n+1)
（1 2
-1 2n-1
）．1 2n+1
∴Tn=
[（1-1 2
）+（1 3
-1 3
）+…+（1 5
-1 2n-1
）]1 2n+1
=
（1-1 2
）=1 2n+1
．n 2n+1
（3）由（2）知Tn=
（1-1 2
），1 2n+1
Tn+1-Tn=
（1-1 2
）-1 2n+3
（1-1 2
）1 2n+1
=
（1 2
-1 2n+1
）＞0．1 2n+3
∴数列{Tn}是递增数列．
∴[Tn]min=T1=
．1 3
∴
＜m 23
，1 3
∴m＜
．23 3
∴整数m的最大值是7．