数列{an}中，a1=1，且点（an，an+1）在直线l：2x-y+1=0上．

问题解答题

数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．

（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：{b_n}是等比数列；

（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2），求{C_n}的前n项和．

答案

（Ⅰ）数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．

所以2a_n-a_n+1+1=0，即2a_n+2=a_n+1+1，

所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，

a_n=2ⁿ-1，

b_n=a_n+1=2ⁿ，

bn+1

2n+1

所以{b_n}是等比数列；

（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2）=3n×2ⁿ-n，

{C_n}的前n项和．Sn=3× 21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n-(1+2+3+…+n)，

令T=3×2¹+3×2×2²+3×3×2³+…+3×n×2ⁿ，…①，

所以2T=3×2²+3×2×2³+3×3×2⁴+…+3×n×2ⁿ⁺¹…②，

①-②得：-T=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹），

T=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6，

所以Sn=3(n-1)•2n+1+6-

n(n+1)

．