已知数列{an}满足：1a1+1a2+1a3+…+1an=n2（n≥1，n∈N+

问题解答题

已知数列{a_n}满足：

+…+

=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前b项和，存在正整数b，使得S_n＞λ-

，求实数λ的取值范围．

答案

（1）

+…+

a2011

=2011^{2
1
a1
+1
a2+1
a3+…+1
a2010=2010^{2
两式相减得
1
a2011
=2011²-2010²=4021⇒a₂₀₁₁=1
4021
（2）
1
a1
+1
a2+1
a3+…+1
an=n²
1
a1
+1
a2+1
a3+…+1
an+1=（n+1）²
两式相减得
1
an
=n²-（n-1）²=2n-1⇒an=1
2n-1（n≥2）
当n=1时，a₁=1也满足上式∴an=
1
2n-1
（n≥1）
b_n=a_na_n+1=
1
(2n-1)(2n+1)
=1
2（1
2n-1
-1
2n+1）
S_n=
1
2
[（1-1
3）+（1
3-1
5）+…+（1
2n-1
-1
2n+1）]=1
2（1-1
2n+1）
存在正整数b，使得S_n＞λ-
1
2
，即S_n的最大值大于λ-1
2
而S_n=
1
2
（1-1
2n+1）＜1
2
∴
1
2
＞λ-1
2，即λ＜1}}