问题
解答题
数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an，n∈N*
（1）计算数列{an}的前4项；
（2）猜想an的表达式，并证明；
（3）求数列{n•an}的前n项和Tn．
答案
（1）计算得：a1=1，a2=
，a3=3 2
，a4=7 4
．（3分）15 8
（2）∵sn=2n-an当n≥2时
∴sn-1=2（n-1）-an-1两式相减可得：an=2-an+an-1即：
∵a n=
an-1+1⇒a n-2=1 2
(an-1-2)1 2
所以，数列{an-2}是首项为a1-2=-1公比为
的等比数列1 2
∵a n-2=(-1)•(
)n-1⇒a n=2-(1 2
)n-11 2
即an=
（7分）2n-1 2n-1
当n=1时，a1=1，
∴an=
，2n-1 2n-1
（3）因为n•an=2n-n•(
)n-11 2
设数列{n•(
)n-1}的前n项和为MnMn1 2
=1•(
)0+2•(1 2
)1+3•(1 2
)2+n•(1 2
)n-11 2
Mn1 2
=1•(
)1+2•(1 2
)2+(n-1)•(1 2
)n-1+n•(1 2
)n1 2
两式相减可得：
Mn=(1 2
)0+(1 2
)1+(1 2
)2++(1 2
)n-1-n•(1 2
)n1 2
=
-n•(1-(
)n-11 2 1- 1 2
)n=2-(1 2
)n-n•(1 2
)n1 2
=2-(n+1)•(
)nMn1 2
=4-(n+1)•(
)n+1（12分）1 2