（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．

则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a_n=n．

由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2++

1

3

+1，

则（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=(

1

3

)n-2++

1

3

+1，（n≥2）

两式相减得：b 1+b2++bn=(

1

3

)n-1，n≥2．

即数列{b_n}的前n项和Sn=(

1

3

)n-1，n≥2．

当n=1时，b₁=S₁=1，所以Sn=(

1

3

)n-1．

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

1

3

)n-1-(

1

3

)n-2=-

2

3

•(

1

3

)n-2．

所以bn=

1，(n=1) - 6 3n ，(n≥2)

．（7分）

（Ⅱ）因为c_n=-a_nb_n，所以cn=

-1，(n=1) 6n 3n ，(n≥2)

．

当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，

设Tn=-1+

6×2

32

+

6×3

33

+

6×4

34

++

6×n

3n

=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)．

令T=

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

，则

1

3

T=

2

33

+

3

34

+

4

35

++

n-1

3n

+

n

3n+1

，

两式相减得：

2

3

T=

2

32

+

1

33

+

1

34

++

1

3n

-

n

3n+1

=

2

9

+

1 27 (1- 1 3n-2 )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

5

18

-

1

2

•

1

3n

-

n

3n+1

，

所以T=

5

12

-

3

4

•

1

3n

-

1

2

•

n

3n

．

因此T_n=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)=-1+6(

5

12

-

3

4

•

1

3n

-

1

2

•

n

3n

)=

3

2

-

1

2

•

9

3n

-

3n

3n

，n≥2．（13分）

又n=1时，T₁=-1也满足上式，故T_n=

3

2

-

1

2

•

9

3n

-

3n

3n

．