按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他

问题解答题

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为

m+a

；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为

n+a

．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2

．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m_A元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h_乙
（1）求h_甲和h_乙关于m_A、m_B的表达式；当mA=

mB时，求证：h_甲=h_乙；
（2）设mA=

mB，当m_A、m_B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h₀，试问能否适当选取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

答案

（1）甲：买进A的满意度为h_A1=

mA+12

，卖出B的满意度为h_B1=

mB+5

；

所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲=

hA1?hB1

mA+12

mB+5

12mB

(mA+12)( mB+5)

；

乙：卖出A的满意度为：h_A2=

mA+3

，买进B的满意度为：h_B2=

mB+20

；

所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h_乙=

hA2?hB2

mA+3

mB+20

20mA

(mA+3)( mB+20)

；

当mA=

mB时，h_甲=

12mB

(

mB+12)(mB+5)

20mB

(mB+20)( mB+5)

，

h_乙=

20×

(

mB+3)(mB+20)

20mB

(mB+5)(mB+20)

，所以h_甲=h_乙

（2）设m_B=x（其中x＞0），当mA=

mB时，

h_甲=h_乙=

20x

(x+5)(x+20)

100

+25

≤

100

+25

；

当且仅当x=

100

，即x=10时，上式“=”成立，即m_B=10，m_A=

×10=6时，

甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为

（3）不能由（2）知h₀=

．因为h_甲h_乙≤

因此，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立．