（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P_n+1，此时有两种情况：

①第n次硬币正面朝上，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为

2

6

=

1

3

，

因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为

1

3

Pn．…（3分）

②第n次硬币反面朝上，其概率为1-P_n，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为

5

6

，

因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为

5

6

(1-Pn)．

∴Pn+1=

1

3

Pn+

5

6

(1-Pn)，变形得 Pn+1-

5

9

=-

1

2

( Pn-

5

9

 )．

∴点（P_n，P_n+1）恒在过定点（

5

9

，

5

9

），斜率为-

1

2

的直线上．…（6分）

（Ⅱ）P₀=1，P1=

1

3

P0+

5

6

(1-P0)=

1

3

，

又由（Ⅰ）知：

Pn+1- 5 9

Pn- 5 9

=-

1

2

，

∴{Pn-

5

9

}是首项为P1-

5

9

=

1

3

-

5

9

=-

2

9

，公比为-

1

2

的等比数列，…（8分）

∴Pn-

5

9

=-

2

9

•(-

1

2

)n-1，

故所求通项公式为Pn=

5

9

+

(-1)n

9•2n-2

．…（10分）

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{Pn-

5

9

}是首项为a1=P1-

5

9

=-

2

9

，公比为q=-

1

2

的等比数列，又

∵

Snk+1→(n+1)k

S(n-1)k+1→nk

=

a1qnk(1+q+…+qk-1)

a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)

=qk（k∈N^*）是常数，

∴S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比数列，…（12分）

且S1→k=

- 2 9 [1-(- 1 2 )k]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)k]

从而 Tn=

S1→k(1-qkn)

1-qk

=

- 4 27 [1-(- 1 2 )k]•[1-(- 1 2 )kn]

1-(- 1 2 )k

=-

4

27

[1-(-

1

2

)kn]．…（14分）

解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk=

- 2 9 [1-(- 1 2 )nk]

1+ 1 2

=-

4

27

[1-(-

1

2

)nk]．…（14分）