问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：
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答案
（Ⅰ）依题意Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*)
Sn-1=(n-1)an-1-2(n-1)(n-2)(n≥2，n∈N*)
两式相减得an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4n+4，(n≥2，n∈N*)
所以（1-n）an=-（n-1）an-1-4（n-1）
因为n≥2，n∈N*，所以1-n≠0，
两边同除以（1-n）可得，an=an-1+4⇒an-an-1=4，(n≥2，n∈N*)
所以{an}是以a1=1为首项，公差为4的等差数列
所以an=a1+（n-1）d=4n-3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
=1 an-1•an
=1 (4n-7)(4n-3)
(1 4
-1 4n-7
)1 4n-3
所以
+1 a1a2
+…+1 a2a3
=1 an-1an
(1-1 4
+1 5
-1 5
+1 9
-1 9
+…+1 13
-1 4n-7
)1 4n-3
=
(1-1 4
)＜1 4n-3 1 4