问题
解答题
| 已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{an}的前n项之和Sn，求Sn，并证明：
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答案
（Ⅰ）∵an=2an-1+2n（n≥2，且n∈N*），
∴
=an 2n
+1，即an-1 2n-1
-an 2n
=1（n≥2，且n∈N*），…（3分）an-1 2n-1
所以，数列{
}是等差数列，公差d=1，首项an 2n
，…（5分）1 2
于是
=an 2n
+(n-1)d=1 2
+(n-1)•1=n-1 2
，1 2
∴an=(n-
)•2n．…（7分）1 2
（Ⅱ）∵Sn=
•2+1 2
•22+3 2
•23+…+（n-5 2
）•2n，①1 2
∴2Sn=
•22+1 2
•23+3 2
•24+…+(n-5 2
)•2n+1，②…（9分）1 2
①-②，得-Sn=1+22+23+…+2n-(n-
)•2n+11 2
=2+22+23+…+2n-(n-
)•2n+1-11 2
=
-(n-2(1-2n) 1-2
)•2n+1-11 2
=（3-2n）•2n-3，…（12分）
∴Sn=(2n-3)•2n+3＞（2n-3）•2n，
∴
＞2n-3．…（14分）Sn 2n