已知函数y=f（x）满足a=(x2，y)，b=(x-1x，-1)，且a•b=-1_爱下问搜题

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问题解答题

已知函数y=f（x）满足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1．
如果存在正项数列{a_n}满足：a1=

1

2

， f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求证：

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜1；
（3）求证：

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜1+

2

．

答案

（1）

a

•

b

=-1，∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）

∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．

所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n①

又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②

①-②得

an

an-1

=

n-1

n+1

则an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)…（4分）

（2）由（1）得

ai

i

=

1

i2(i+1)

=

1

i

(

1

i

-

1

i+1

)=

1

i2

-(

1

i

-

1

i+1

)＜

1

i(i-1)

-(

1

i

-

1

i+1

)=(

1

i-1

-

1

i

)+(

1

i

-

1

i+1

)(i＞1)

∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

1

2

+

1

2

-(

1

n

-

1

n+1

)=1+

1

n+1

-

1

n

=1-

1

n(n+1)

＜1…（9分）

（3）∵

i+1

+

i-1

2

＜

(i+1)+(i-1)

2

=

i

∴

1

i

＜

2

i+1

+

i-1

而

ai

i

=

1

i2(i+1)

＜

1

(i-1)i(i+1)

＜

1

i-1

•

i+1

•

2

i-1

+

i+1

=

1

i-1

-

1

i+1

(i≥2)

所以

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

a1

1

+(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)＜

1

2

+1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

＜1+

2

…（14分）

单项选择题

男性，12岁，右膝撞伤后膝前疼痛，X线片检查，无骨折但胫骨近端内侧有一突出骨膜骨软骨瘤1.5cm×1.5cm，采取以下哪种措施

A．化疗+免疫治疗

B．截肢+化学治疗

C．病灶整块切除

D．病灶刮除+植骨

E．病段整块切除+自体大块骨移植

写作题

写作。

假如你叫李磊，你的一位美国朋友根据你的要求，把一名美国中学生约翰介绍给你，希望你

们成为新的笔友。现在请你给约翰写信，信的内容要点如下：

1.个人简介：16岁，北京二中高一学生；

2.业余爱好：读书，打篮球；

3.希望了解美国中学生的校园生活；想知道约翰最喜欢的和最不喜欢的事以及他的父母如何看

待孩子的学习成绩；

4.希望对方回信或电子邮件。你的邮箱地址是：lilei@163.com。

词数：100左右。格式已给出

Dear John,

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Yours

Li Lei