问题
解答题
已知函数y=f（x）满足
如果存在正项数列{an}满足：a1=
（1）求数列{an}的通项； （2）求证：
（3）求证：
|
答案
（1）
•a
=-1，∴y=f（x）=x3-x+1（x≠0）b
∵f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an）-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an（n∈N*）．
所以代入得a1+a2+a3+…+an=n2an ①
又a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2an-1（n≥2）②
①-②得
=an an-1
则an=n-1 n+1
•an an-1
•…•an-1 an-2
=a2 a1
(n∈N*)…（4分）1 n(n+1)
（2）由（1）得
=ai i
=1 i2(i+1)
(1 i
-1 i
)=1 i+1
-(1 i2
-1 i
)＜1 i+1
-(1 i(i-1)
-1 i
)=(1 i+1
-1 i-1
)+(1 i
-1 i
)(i＞1)1 i+1
∴
+a1 1
+a2 2
+…+a3 3
＜an n
+1 2
-(1 2
-1 n
)=1+1 n+1
-1 n+1
=1-1 n
＜1…（9分）1 n(n+1)
（3）∵
＜
+i+1 i-1 2
=(i+1)+(i-1) 2
∴i
＜1 i 2
+i+1 i-1
而
=ai i
＜1 i2(i+1)
＜1 (i-1)i(i+1)
•1
•i-1 i+1
=2
+i-1 i+1
-1 i-1
(i≥2)1 i+1
所以
+a1 1
+a2 2
+…+a3 3
＜an n
+(a1 1
-1 1
)+(1 3
-1 2
)+…+(1 4
-1 n-1
)＜1 n+1
+1+1 2
-1 2
-1 n
＜1+1 n+1
…（14分）2
