问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+）， （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{
（3）（只理科作）接（2）中的Tn，求证：Tn≥
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答案
（1）当n∈N+时，Sn=2an-2n，
则当n≥2，n∈N+时，Sn-1=2an-1-2（n-1）
①-②，an=2an-2an-1-2，an=2an-1+2
∴an+2=2（an-1+2），
∴
=2，n=1时 S1=2a1-2，∴a1=2an+2 an-1+2
∴{an+2}是a1+2=4为首项2为公比的等比数列，
∴an+2=4•2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-2
（2）证明bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1．
∴
=bn an+2
，n+ 2n+1
则Tn=
+2 22
+…+3 23
，n+1 2n+1
∴
Tn=1 2
+2 23
+…+3 24
+n 2n+1
④n+1 2n+2
③-④，
Tn=1 2
+2 22
+1 23
…+1 24
-1 2n+1
=n+1 2n+2
+1 4
-
(1-1 4
)1 2n 1- 1 2 n+1 2n+1
=
+1 4
-1 2
- 1 2n+1 n+1 2n+2
=
-3 4 n+3 2n+2
∴Tn=
-3 2
．n+3 2n+1
（3）n≥2时Tn-Tn-1=-
+n+3 2n+1
=n+2 2n
＞0，n+1 2n+1
∴{Tn}为递增数列
∴Tn的最小值是T1=1 2
∴Tn≥1 2