设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an-2，令bn=log2an（I）试求数

问题解答题

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数记为d_m，求数列{d_m}的前m项和T_m．

答案

（I）当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以2为为公比的等比数列，且首项a₁=2，

通项公式为an=2×2^n-1=2ⁿ，

（Ⅱ）cn=

T_n=

+…

，两边同乘以

得

T_n=

+…

n-1

2n+1

两式相减得出

T_n=

+…

2n+1

=1-

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

∴T_n＜2

（Ⅲ）数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，

所以数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数d_m=2^2m-1-2^m-1-1，

所以T_m．=

2(4m-1)

4-1

2m-1

2-1

-m=

×22m+1-2m-m+