设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）若数列首项为a1=32，公差d=1

问题解答题

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列首项为a1=

，公差d=1，求满足S_k²=（S_k）²的正整数k的值；
（2）若S_n=n²，求通项a_n；
（3）求所有无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有S_k²=（S_k）²成立．

答案

（1）当 a1=

，d=1时，Sn=na1+

n(n-1)

n2+n

∴

k4+k2=(

k2+k) 2

整理得k3(

k-1)=0

∴k=0或k=4

又∵k≠0，

∴k=4．

（2）当n=1时，s¹=a₁=1

当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-1

a₁也符合上式

∴a_n=2n-1

（3）设数列{a_n}的公差为d，则在 Sn2=(Sn)2中分别取k=1，2，由（1）得a₁=0或a₁=1．

当a₁=0时，代入（2）得d=0或d=6，

若a₁=0，d=0，则a_n=0，S_n=0，从而S_k=（S_k）²成立

若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），由S₃=18，（S₃）²=324，S_n=216知s₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意．

当a₁=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2

若a₁=1，d=0，则a_n=1，S_n=n，从而 Sk2=(Sk)2成立；

若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=1+3+…+（2n-1）=n²，从而S=（S_n）²成立

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

∴a_n=0，a_n=1，a_n=2n-1．