数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a

问题解答题

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

(3n+1)•an

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2满足该式

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n…（5分）

（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，

∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）…（7分）

令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①

则3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②…（9分）

①-②得，-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹

∴H_n=

(2n-1)×3n+1+3

，…（11分）

∴数列{c_n}的前n项和T_n=

(2n-1)×3n+1+3

n(n+1)

…（12分）