问题
解答题
已知函数f(x)满足f(logax)=
(1)对于函数f(x),当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数m的取值集合; (2)当x∈(-∞,2)时,f(x)+3>0恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)令logax=t,则x=at,
∴f(x)=
(at-a-t)…(2分)a 1-a2
∴f(x)=
(ax-a-x)∴f(-x)=a 1-a2
(a-x-ax)=-a 1-a2
(ax-a-x)=-f(x)a 1-a2
即y=f(x)为奇函数------…(2分)
∵f′(x)=
(ax+a-x)lnaa>1时 a 1-a2
<0,lna>0a 1-a2
∴f'(x)<0∴f(x)为定义域上减函数0<a<1时∴x<2,f(x)>f(2)=
(a2-a-2)a 1-a2
∴f'(x)<0∴f(x)为定义域上减函数
综上f(x)为定义域上减函数…(2分)
∵f(1-m)+f(1-m2)<0∴f(1-m)<-f(1-m2)∴奇函数∴f(1-m)<f(m2-1)
∵减函数∴
∴0<m<1…(2分)1-m>m2-1 -1<1-m<1 -1<m2-1<1
(2)∵y=f(x)为减函数∴x<2,f(x)>f(2)=
(a2-a-2)…(2分)a 1-a2
若f(x)+3>0恒成立,即f(2)+3>0
•a 1-a2
+3=a4-1 a2
+3≥0…(1分)-(a2+1) a
∴
≤a≤3- 5 2
,a≠1…(1分)3+ 5 2