问题
解答题
已知函数f（x）满足f(logax)=
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值集合； （2）当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范围． |
答案
（1）令logax=t，则x=at，
∴f(x)=
(at-a-t)…（2分）a 1-a2
∴f(x)=
(ax-a-x)∴f(-x)=a 1-a2
(a-x-ax)=-a 1-a2
(ax-a-x)=-f(x)a 1-a2
即y=f（x）为奇函数------…（2分）
∵f′(x)=
(ax+a-x)lnaa＞1时 a 1-a2
＜0，lna＞0a 1-a2
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数0＜a＜1时∴x＜2，f(x)＞f(2)=
(a2-a-2)a 1-a2
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数
综上f（x）为定义域上减函数…（2分）
∵f（1-m）+f（1-m2）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m2）∴奇函数∴f（1-m）＜f（m2-1）
∵减函数∴
∴0＜m＜1…（2分）1-m＞m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1
（2）∵y=f（x）为减函数∴x＜2，f(x)＞f(2)=
(a2-a-2)…（2分）a 1-a2
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0
•a 1-a2
+3=a4-1 a2
+3≥0…（1分）-(a2+1) a
∴
≤a≤3- 5 2
，a≠1…（1分）3+ 5 2