问题 解答题
已知函数f(x)满足f(logax)=
a
1-a2
(x-x-1)
,其中a>0且a≠1.
(1)对于函数f(x),当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数m的取值集合;
(2)当x∈(-∞,2)时,f(x)+3>0恒成立,求a的取值范围.
答案

(1)令logax=t,则x=at

f(x)=

a
1-a2
(at-a-t)…(2分)

f(x)=

a
1-a2
(ax-a-x)∴f(-x)=
a
1-a2
(a-x-ax)=-
a
1-a2
(ax-a-x)=-f(x)

即y=f(x)为奇函数------…(2分)

f′(x)=

a
1-a2
(ax+a-x)lnaa>1时  
a
1-a2
<0,lna>0

∴f'(x)<0∴f(x)为定义域上减函数0<a<1时∴x<2,f(x)>f(2)=

a
1-a2
(a2-a-2)

∴f'(x)<0∴f(x)为定义域上减函数

综上f(x)为定义域上减函数…(2分)

∵f(1-m)+f(1-m2)<0∴f(1-m)<-f(1-m2)∴奇函数∴f(1-m)<f(m2-1)

∵减函数∴

1-m>m2-1
-1<1-m<1
-1<m2-1<1
∴0<m<1…(2分)

(2)∵y=f(x)为减函数∴x<2,f(x)>f(2)=

a
1-a2
(a2-a-2)…(2分)

若f(x)+3>0恒成立,即f(2)+3>0

a
1-a2
a4-1
a2
+3=
-(a2+1)
a
+3≥0…(1分)

3-
5
2
≤a≤
3+
5
2
,a≠1…(1分)

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