问题
解答题
| 设数列{an}满足an≠0，a1=1，an=（1-2n）anan-1+an-1（n≥2），数列{an}的前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：当n≥2时，
（3）试探究：当n≥2时，是否有
|
答案
（1）∵an≠0
∴anan-1≠0（n≥2）
∴
=an anan-1
+(1-2n)anan-1 anan-1
，an-1 anan-1
即
=(1-2n)+1 an-1
即有1 an
-1 an
=2n-1，1 an-1
∴
=1 an
+(1 a1
-1 a2
)+(1 a1
-1 a3
)+…+(1 a2
-1 an
)=1+3+5+7+…+（2n-1）=1 an-1
=n2（n≥2）n(1+2n-1) 2
又
=1也适合上式，1 a1
∴an=
．1 n2
（2）证明：∵an=1 n2
∴Sn=a1+a2+…+an=1+
+1 22
+…+1 32 1 n2
∵当n≥2时，
＜1 n2
=1 (n-1)n
-1 n-1 1 n
∴1+
+1 22
+…+1 32
＜1+[(1-1 n2
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n-1
)]=2-1 n+1
＜2．1 n+1
又∵
＞1 n2
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
∴Sn＞(1-
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n
)=1-1 n+1
=1 n+1 n n+1
∴当n≥2时，
＜Sn＜2．n n+1
（3）∵
=1 n2
＜4 4n2
=2(4 (2n-1)(2n+1)
-1 2n-1
)1 2n+1
∴1+
+1 22
+…+1 32
＜1+2[(1 n2
-1 3
)+(1 5
-1 5
)+…+(1 7
-1 2n-1
)]1 2n+1
=
-5 3
＜2 2n+1 5 3
当n≥2时，要Sn＞
只需6n (n+1)(2n+1)
＞n n+1 6n (n+1)(2n+1)
即需2n+1＞6，显然这在n≥3时成立
而S2=1+
=1 4
，当n≥2时5 4
=6n (n+1)(2n+1)
=6×2 (2+1)(4+1)
显然4 5
＞5 4 4 5
即当n≥2时Sn＞
也成立6n (n+1)(2n+1)
综上所述：当n≥2时，有
＜Sn＜6n (n+1)(2n+1)
．5 3