问题
解答题
某隧道长6000米，最高限速为v0（米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比，比例系数为k（k＞0），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t（秒）．
（1）求函数t=f（v）的解析式，并写出定义域；
（2）求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小．
答案
（1）依题意得，车队通过隧道的时间t关于车队行进速度v的函数解析式为：t=f(v)=
=6000+120+9kv2 v
，其中，定义域为v∈（0，v0]；6120+9kv2 v
（2）t=f(v)=
=9kv+6120+9kv2 v
=9?(kv+6120 v
)，v∈（0，v0]；680 v
令kv=
?v=680 v
，于是：680 k
①当v0≥
时，t=f(v)≥9?2680 k
=36680k
；当且仅当v=170k
时，t取得最小值；680 k
②当v0＜
时，可知在（0，v0]上函数t=f（v）单调递减，则当v=v0时，车队经过隧道的时间t的最小值为tmin=f(v0)=680 k
；6120+9k v 20 v0
综上，若v0≥
，则当车速为v=680 k
（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值tmin=32680 k
（秒）；若v0＜170k
，则当车速为v=v0（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值tmin=680 k
（秒）．6120+9k v 20 v0