在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排 * * 21的逆序数a3=6. (Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式; (Ⅱ)令bn=
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(Ⅰ)由排列21的逆序数a1=1,排 * * 21的逆序数a2=3,排列4321的逆序数a3=6,得a4=4+3+2+1=10,a5=5+4+3+2+1=15,所以an=n+(n-1)+…+2+1=
;n(n+1) 2
(Ⅱ)因为bn=
+an an+1
=an+1 an
+n n+2
>2n+2 n
=2,n=1,2,…,
•n n+2 n+2 n
所以b1+b2+…+bn>2n.
又因为bn=
+n n+2
=2+n+2 n
-2 n
,n=1,2,…,2 n+2
所以b1+b2+…+bn=2n+2[(
-1 1
)+(1 3
-1 2
)+…+(1 4
-1 n
)]=2n+3-1 n+2
-2 n+1
<2n+3.2 n+2
综上,2n<b1+b2+bn<2n+3,n=1,2,…