问题
解答题
| 在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排 * * 21的逆序数a3=6． （Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式； （Ⅱ）令bn=
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答案
（Ⅰ）由排列21的逆序数a1=1，排 * * 21的逆序数a2=3，排列4321的逆序数a3=6，得a4=4+3+2+1=10，a5=5+4+3+2+1=15，所以an=n+（n-1）+…+2+1=
；n(n+1) 2
（Ⅱ）因为bn=
+an an+1
=an+1 an
+n n+2
＞2n+2 n
=2，n=1，2，…，
•n n+2 n+2 n
所以b1+b2+…+bn＞2n．
又因为bn=
+n n+2
=2+n+2 n
-2 n
，n=1，2，…，2 n+2
所以b1+b2+…+bn=2n+2[（
-1 1
）+（1 3
-1 2
）+…+（1 4
-1 n
）]=2n+3-1 n+2
-2 n+1
＜2n+3．2 n+2
综上，2n＜b1+b2+bn＜2n+3，n=1，2，…
