已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225；等比数列{bn

问题解答题

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225；等比数列{b_n}满足：b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式

（2）记c_n=a_n+b_n求数列{c_n}的前n项和为T_n．

答案

（1）设a_n=a₁+（n-1）d，S_n=

n(a1+an)

，

所以 a₃=a₁+2d=5 ①，

S₁₅=

15( a1+a15)

=15（a₁+7d）=225

a₁+7d=15 ②

①②联立解得d=2，a₁=1，

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1

设b_n=b₁•q^（n-1），

所以 b₃=a₂+a₃=8，

b₂=

，b₅=b₃•q²

∴b₂•b₅=b₃²•q=64•q=128

∴q=2

∴数列{b_n}的通项公式为b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．

（2）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ

∵Tn=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ

2Tn=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹

作差：-Tn=2+2³+2⁴+2⁵+…+2 ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹

=2+23（1-2n-1）1-2-（2n-1）•2n+1

=2+

23(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2^{n+1
=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹•（2n-3）
∴Tn=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．}