问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=1；an+1-an=1，n∈N*．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2，n∈N*．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令数列{cn}满足cn=an•bn，求其前n项和为Tn．
答案
（1）由已知a1=1；an+1-an=1，n∈N*，
∴数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴其通项公式为an=n…（3分）
∵Sn+bn=2，∴Sn+1+bn+1=2，
两式相减，化简可得
=bn+1 bn
，1 2
∴数列{bn}为等比数列，
又S1+b1=2，
∴b1=1，
∴bn=
…（7分）1 2n-1
（2）由已知得：cn=n•1 2n-1
∴Tn=1+
+2 2
+…+3 22
，n 2n-1
∴
Tn=1 2
+1 2
+2 22
+…+3 23
+n-1 2n-1 n 2n
∴
Tn=1+1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n-1
=n 2n
-1- 1 2n 1- 1 2
=2(1-n 2n
)-1 2n
…（11分）n 2n
∴Tn=4(1-
)-1 2n
=4-n 2n-1
…（13分）2+n 2n-1