问题
解答题
设各项为正的数列{an}，其前n项和为Sn，并且对所有正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
（1）写出数列{an}的前二项；
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令bn=an•（3n-1），求bn的前n项和Tn．
答案
（1）由题意可得
=an+2 2 2Sn
∴
=a1+2 2
解得a1=2，2a1
∴
=a2+2 2
解得a2=62(a1+a2)
（2）由
=an+2 2
得Sn=2Sn (an+2)2 8
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
即可得到（an+an-1）（an-an-1-4）=0
∵各项为正的数列{an}，
∴an-an-1=4
因此数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，故an=4n-2
（3）由bn=an（3n-1-1），得bn=（4n-2）（3n-1）=（4n-2）3n-（4n-2）
记cn=（4n-2）3n，其n项和为Un，则由错位相减法得Un=3（1-3n）+（2n-1）3n+1+3=（2n-2）3n+1+6
∴Tn=(2n-2)3n+1+6-
=(2n-2)3n+1+6-2n2．n(2+4n-2) 2
