问题
解答题
| 已知a1=9，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n∈N*，设bn=lg（1+an）． （Ⅰ） 证明数列{bn}是等比数列； （Ⅱ） 设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn； （Ⅲ） 设dn=
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答案
（Ⅰ） 证明：由题意知：an+1=
+2an，a 2n
∴an+1+1=(an+1)2，
∵a1=9∴an+1＞0，
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2，即bn+1=2bn．
又∵b1=lg（1+a1）=1＞0，
∴{bn}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ） 由（1）知：bn=b1•2n-1=2n-1，∴cn=n•2n-1．
∴Sn=c1+c2+…+cn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1①，
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n②，
∴①-②得，-Sn=1•20+21+22+…+2n-1-n•2n=
-n•2n=2n-1-n•2n，1-2n 1-2
∴S n=n•2n-2n+1．
（Ⅲ）∵an+1=
+2an=an(a 2n
+2)＞0，a n
∴
=1 an+1
(1 2
-1 an
)，∴1 an+2
=1 an+2
-1 an
，2 an+1
∴dn=
+1 an
-1 an
=2(2 an+1
-1 an
)，1 an+1
∴Dn=d1+d2+…+dn=2(
-1 a1
+1 a2
-1 a2
+…1 a3
-1 an
)=2(1 an+1
-1 a1
)，1 an+1
又由（1）知：lg(1+an)=2n-1，
∴an+1=102n-1，∴an+1=102n-1，
∴Dn=2(
-1 9
)．1 102 n-1