问题
解答题
各项均为正数的数列{an}，a1=
（I）求通项an； （II）记cn=an+1-an（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
|
答案
（I）解法一：特征根法，令α=
得α=12α+1 α+2
∴an-1=
-1=2an-1+1 an-1+2 an-1-1 an-1+2
∴
=1 an-1
=an-1+2 an-1-1
+13 an-1-1
再利用构造新数列求通项公式
设
-p=3(1 an-1
-p)1 a n-1-1
∴
=1 an-1
-2p∴-2p=1∴p=-3 an-1-1 1 2
∴
+1 an-1
=3(1 2
+1 an-1-1
)又 1 2
+1 an-1
=-1 2 3 2
∴
=-1 an-1
•3n-1 2 1 2
∴an-1=-2 3n+1
∴an=3n-1 3n+1
解法二：由
=am+an (1+am)(1+an) ap+aq (1+ap)(1+aq)
得
=a1+an (1+a1)(1+an) a2+an-1 (1+a2)(1+an-1)
将a1=
，a2=1 2
，代入化简得4 5
an=2an-1+1 an-1+2
所以
=1-an 1+an 1 3 1-an-1 1+an-1
故数列{
}为等比数列，从而1-an 1+an
=1-an 1+an
，an=1 3n 3n-1 3n+1
（II）∵an=
=1-3n-1 3n+1 2 3n+1
∴cn=an+1-an=1-
-1+2 3n+1+1
=2 3n+1 4•3n (3n+1)(3n+1+1)
=
=4•3n 32n+1+4•3n+1
＜4 3n+1+4+ 1 3n 4 3n+1
∴Tn=c1+c2+…+cn＜4(
+1 32
+…+1 33
)=4•1 3n+1
=
(1-1 9
)1 3n 1- 1 3
(1-2 3
)＜1 3n 2 3