问题
解答题
| 对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）． （Ⅰ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{an}，若数列{bn}是等差数列，使得b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an对一切正整数n∈N*都成立，求bn； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令cn=（2n-1）bn，设Tn=
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答案
（Ⅰ）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
-an+1 2n+1
=an 2n
，---------------（2分）1 2
∴数列{
}是首项为an 2n
，公差为1 2
的等差数列，1 2
∴
=an 2n
+(n-1)×1 2
，1 2
∴an=n•2n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an，
∴b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1．
∵kCnk=nCn-1k-1，
∴
+2C 1n
+3C 2n
+…+(n-1)C 3n
+nC n-1n
=nC nn
+nC 0n-1
+nC 1n-1
+…+nC 2n-1 C n-1n-1 =n(
+C 0n-1
+C 1n-1
+…+C 2n-1
)=n•2n-1.C n-1n-1
∴bn=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
Tn=
+1 1
+3 2
+…+5 22
，①2n-1 2n-1
Tn=1 2
+1 2
+3 22
+…+5 23
，②2n-1 2n
①-②得
Tn=1+1+1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n-2
=3-2n-1 2n
-1 2n-2
，2n-1 2n
∴Tn=6-
-1 2n-3
＜6，----------（10分）2n-1 2n-1
又Tn=
+1 1
+3 2
+…+5 22
，2n-1 2n-1
∴Tn+1-Tn＞0，
∴{Tn}是递增数列，且T6=6-
-1 23
＞5，11 25
∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）