问题
解答题
把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），
（1）用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V（x），并给出函数的定义域；
（2）问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？
答案
（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），
所以长方体容积V=V（x）=x（60-2x）2=4x（x-30）2；…（4分）
∵
≤k，∴0＜x≤x 60-2x
．60k 2k+1
即函数定义域为(0，
]，…（6分）60k 2k+1
（2）V′（x）=4（x-30）2+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意舍去）于是 …（8分）
| x | （0，10） | 10 | （10，30） |
| V'（x） | + | 0 | - |
| V（x） | ↑ | ↓ |
| 60k |
| 2k+1 |
| 1 |
| 4 |
②当
＜10，即0＜k＜60 2k+1
时，在x=1 4
时，V取得最大值Vmax=60k 2k+1
．…（12分）216000k (2k+1)3