问题
解答题
设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(
①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. ②设bn=
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答案
①在 Sn=(
)2中,令n=1可得,a1=(an+1 2
)2,∴a1=1. 令n=2 可得,1+a2=(a1+1 2
)2,a2+1 2
a2 =3,同理可求,a3=5,a4=7.
猜测an=2n-1.
证明:当n=1时,猜测显然成立,假设 ak=2k-1,
则由 ak+1=sk+1-sk=(
)2-(ak+1+1 2
)2=(ak+1 2
)2-k2,解得 ak+1=2k+1,ak+1+1 2
故n=k+1时,猜测仍然成立,
③∵bn=
=1 anan+1
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
),1 2n+1
∴Tn=
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+( 1 5
- 1 5
)+…+(1 7
-1 2n-1
)]=1 2n+1
(1-1 2
)1 2n+1
=
.n 2n+1