问题
解答题
设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(
①先求出a1，a2，a3，a4的值，然后猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． ②设bn=
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答案
①在 Sn=(
)2中，令n=1可得，a1=(an+1 2
)2，∴a1=1． 令n=2 可得，1+a2=(a1+1 2
)2，a2+1 2
a2 =3，同理可求，a3=5，a4=7．
猜测an=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设 ak=2k-1，
则由 ak+1=sk+1-sk=(
)2-(ak+1+1 2
)2=(ak+1 2
)2-k2，解得 ak+1=2k+1，ak+1+1 2
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵bn=
=1 anan+1
=1 (2n-1)(2n+1)
（1 2
-1 2n-1
），1 2n+1
∴Tn=
[（1-1 2
）+（1 3
-1 3
）+（ 1 5
- 1 5
）+…+（1 7
-1 2n-1
）]=1 2n+1
（1-1 2
）1 2n+1
=
．n 2n+1
