问题 解答题
设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(
an+1
2
)2

①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
②设bn=
1
anan+1
,数列{bn}的前n项和为Tn
答案

①在 Sn=(

an+1
2
)2中,令n=1可得,a1=(
a1+1
2
)
2
,∴a1=1. 令n=2 可得,1+a2=(
a2+1
2
)
2

 a2 =3,同理可求,a3=5,a4=7.

猜测an=2n-1.

证明:当n=1时,猜测显然成立,假设   ak=2k-1,

则由  ak+1=sk+1-sk=(

ak+1+1
2
)2-(
ak+1
2
)
2
=(
ak+1+1
2
)
2
-k2,解得 ak+1=2k+1,

故n=k+1时,猜测仍然成立,

③∵bn=

1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
 ),

∴Tn=

1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
 -
1
5
)+(
1
5
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1
 )

=

n
2n+1

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