问题
解答题
| 已知函数f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*． （Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn； （Ⅱ）若{cn}中，cn=n（6an-1），求数列{cn}的前n项和Tn； （Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的Tn与
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答案
（本小题14分）
（Ⅰ）由f（x）=a•2x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点⇒
⇒2a+b=1 4a+b=3
，a=1 b=-1
∴f（x）=2x-1，
又C（n，Sn）在f（x）的图象上⇒Sn=2n-1，
当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，
令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，
由错位相减法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，
又1+2+3+…+n=
，n(n+1) 2
故Tn=3Pn-
=3(n-1)2n+1+6-n(n+1) 2
．n(n+1) 2
（Ⅲ）由Tn-
=3(n-1)2n+1+6-23n2-13n 2
-n(n+1) 2
=6(n-1)[2n-(2n+1)]23n2-13n 2
当n=1时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=0，Tn=23n2-13n 2
当n=2时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=-6，Tn＜23n2-13n 2
当n=3时，6（n-1）[2n-（2n+1）]=12，Tn＞23n2-13n 2
下证n≥3时，Tn＞
，23n2-13n 2
即证n≥3时，2n＞2n+1，
∵n≥3时，2n=(1+1)n=
+C 0n
+C 1n
+…+C 2n
+C n-1n
≥C nn
+C 0n
+…+C 1n
+C n-1n
=2n+2＞2n+1成立，C nn
∴n≥3时，Tn＞
成立，23n2-13n 2
综上所述：n=1时，Tn=
；23n2-13n 2
n=2时，Tn＜
；23n2-13n 2
n≥3时，Tn＞
．23n2-13n 2