问题
解答题
| 已知x轴上有一列点P1，P2 P3，…，Pn，…，当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1 Pn+1 作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，P3P4，…，PnPn+1的长度分别 为a1，a2，a3，…，an，其中a1=1． （1）求an关于n的解析式； （2 ）证明：a1+a2+a3+…+an＜3 （3）设点P（n，an） {n≥3），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=
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答案
（1）由已知Pn-1Pn=（n-1）PnPn-1
令n=2，P1P2=P2P3，∴a2=1，同理a3=
，1 2
=an an-1 1 n-1
∴an=
an-1=1 n-1
•1 n-1
•an-2=…=1 n-2 1 (n-1)!
（2）证明：∵n≥2时，
=1 (n-1)!
≤1 1×2×…×n 1 2n-2
∴a1+a2+a3+…+an≤1+1+
+…1 2
=3-1 2n-2
＜31 2n-2
而n=1时，结论成立，故a1+a2+a3+…+an＜3；
（3）假设有两个点A（p，ap），B（q，aq），都在函数y=
上，k (x-1)2
即ap=
，aq=k (p-1)2 k (q-1)2
所以
=k，(p-1)2 (p-1)!
=k，消去k得(q-1)2 (q-1)!
=(p-1)2 (p-1)!
①，(q-1)2 (q-1)!
设bn=
，考查数列{bn}的增减情况，n2 n!
∵bn-bn-1=
-n2 n!
=-(n-1)2 (n-1)!
，n2-3n+1 (n-1)!
∴当n＞2时，n2-3n+1＞0，所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在两个点同时在函数y=
(k＞0) 的图象上．k (x-1)2