（Ⅰ）依条件有f（x）=ax+b．

因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，所以a_n=f（n）=an+b．

因为a_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，

所以a_n是首项是a₁=a+b，公差为d=a的等差数列．（1分）

所以Sn=n(a+b)+

n(n-1)

2

•a=nb+

n(n+1)

2

•a．

即数列a_n的前n项和S_n=nb+

n(n+1)

2

•a．（2分）

（Ⅱ）证明：依条件有

(a+b)+2a=7 4(a+b)+ 4×3 2 •a=24

即

3a+b=7 10a+4b=24

解得

a=2 b=1

所以a_n=2n+1．

所以Sn=

n(a1+an)

2

=n2+2n．（3分）

因为2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2[（p+q）²+2（p+q）]-（4p²+4p）-（4q²+4q）=-2（p-q）²，

又p≠q，所以2S_p+q-（S_2p+S_2q）＜0．

即Sp+q＜

1

2

(S2p+S2q)．（5分）

（Ⅲ）依条件f(x)=

ax+b

x2+1

．

因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0．

即

ax+b

x2+1

+

-ax+b

x2+1

=0．解得b=0．所以f(x)=

ax

x2+1

．

又f（1）=1，所以a=2．

故f(x)=

2x

x2+1

．（6分）

因为x_n+1=f（x_n），所以xn+1=

2xn

x 2n +1

．所以x1=

1

2

＞0时，有x_n+1＞0（n∈N^*）．

又xn+1=f(xn)=

2xn

x 2n +1

≤

2xn

2xn

=1，

若x_n+1=1，则x_n=1．从而x₁=1．这与x1=

1

2

矛盾．

所以0＜x_n+1＜1．（8分）

所以xk+1-xk=xk(1-xk)•

1+xk

xk2+1

≤

1

4

•

1

xk+1+ 2 xk+1 -2

≤

1

4

•

1

2 2 -2

=

2 +1

8

．

所以

(xk-xk+1)2

xkxk+1

=

xk+1-xk

xkxk+1

(xk+1-xk)＜

2 +1

8

(

1

xk

-

1

xk+1

)．（10分）

所以

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

++

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

[(

1

x1

-

1

x2

)+(

1

x2

-

1

x3

)++(

1

xn

-

1

xn+1

)]=

2 +1

8

(

1

x1

-

1

xn+1

)=

2 +1

8

(2-

1

xn+1

)．（12分）

因为x1=

1

2

，x_n+1＞x_n，所以

1

2

＜xn+1＜1．所以1＜

1

xn+1

＜2．

所以

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

++

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

(2-1)＜

3 2 +1

8

=

5

16

．（14分）