问题
解答题
集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有
（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由； （2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），f(1)＞
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答案
（1）f（x）∈A，g（x）∉A．（2分）
对于f（x）∈A的证明．任意x1，x2∈R且x1≠x2，
-f(f(x1)+f(x2) 2
)=x1+x2 2
-(x12+x22 2
)2=x1+x2 2 x12-2x1x2+x22 4
=
(x1-x2)2＞01 4
即
＞f(f(x1)+f(x2) 2
)．∴f（x）∈A（3分）x1+x2 2
对于g（x）∉A，举反例：当x1=1，x2=2时，
=g(x1)+g(x2) 2
(log21+log22)=1 2
，1 2
g(
)=log2x1+x2 2
=log21+2 2
＞log23 2
=2
，1 2
不满足
＞g(g(x1)+g(x2) 2
)．∴g（x）∉A．（4分）x1+x2 2
（2）函数f(x)=(
)x，当x∈（0，+∞）时，2 3
值域为（0，1）且f(1)=
＞2 3
．（6分）1 2
任取x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
则
-f(f(x1)+f(x2) 2
)=x1+x2 2
[(1 2
)x1+(2 3
)x2-2•(2 3
)2 3
]x1+x2 2
=
{[(1 2
)2 3
]2-2•(x1 2
)2 3
•(x1 2
)2 3
+[(x2 2
)2 3
]2}=x2 2
[(1 2
)2 3
-(x1 2
)2 3
]2＞0x2 2
即
＞f(f(x1)+f(x2) 2
)．x1+x2 2
∴f(x)=(
)x∈A．是一个符合条件的函数．（8分）2 3