问题
解答题
已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，数列{nan}的前n项和为Tn．对任何正整数n，等式Sn=-an+
（I）求数列{an}的通项公式； （II）求Tn； （III）设An=2Tn，Bn=（2n+4）Sn+3，比较An与Bn的大小． |
答案
（I） 当n=1时，由sn=-an+
(n-3)的S1=a1=-a1+1 2
(1-3)，1 2
解得a1= -
…2分1 2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-an+
(n-3)-[-an-1+1 2
(n-4)]1 2
解得 an=
an-1+1 2
，即an-1 4
=1 2
(an-1-1 2
)1 2
因此，数列{an-
}是首项为-1，公比为1 2
的等比数列1 2
∴an-
=(-1)•(1 2
)n-1，1 2
即an=
-1 2
，…7分1 2n-1
∴数列{an}的通项公式为an=
-1 2
．1 2n-1
（II）∵nan=
-n•n 2
，1 2n-1
∴Tn=
(1+2+3+…+n)-(1+2×1 2
+3×1 2
+…+n×1 22
)…6分1 2n-1
令Un= 1+2×
+3×1 2
+…+n×1 22
．1 2n-1
则
Un= 1 2
+2×1 2
+3×1 22
+…+n×1 23
．1 2n
上面两式相减：
Un= 1+1 2
+1 2
+…+1 22
-n×1 2n-1
=1 2n
-n•1-(
)n1 2 1- 1 2
，即Un=4-1 2n
．n+2 2n-1
∴Tn =
-4+ n(n+1) 4
=n+2 2n-1
+n2+n-16 4
…8分 n+2 2n-1
（III）∵Sn=-an+
=-n-3 2
+1 2
+1 2n-1
=n-3 2
+n-4 2
，1 2n-1
∴An-Bn=
+n2+n-16 2
-n+2 2n-2
-(2n+4)(n-4) 2
-3n+2 2n-2
=
…10分-n2+5n-6 2
∵当n=2或n=3时，
的值最大，最大值为0，-n2+5n-6 2
∴An-Bn≤0．
因此，当n是正整数时，An≤Bn．…12分