问题
解答题
已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=an-
（I）证明：数列{an-2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （II）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn． |
答案
（I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-
，f(an) f′(an)
可得an+1-
=(an-2)2 2(an-2)
an+1，1 2
an+1-2=(
an+1)-2=1 2
an -1=1 2
(an-2)，1 2
∴{an-2}是以a1-2=1为首项，公比为
的等比数列，1 2
∴an-2=(a1-2) (
)n-1，1 2
∴an=(
)n-1+2．1 2
（Ⅱ）由题意bn=nan=
+2n，n 2n-1
则Sn=(
+1 20
+2 2
+…+3 22
)+n2+n（9分）n 2n-1
令Tn=
+1 20
+2 2
+…+3 22
①n 2n-1
①×
得：1 2
Tn=1 2
+1 2
+2 22
+…+3 23
②n 2n
①-②得：
Tn=1+1 2
+1 2
+…+1 22
-1 2n-1 n 2n
=
-1- 1 2n 1- 1 2
=2（1-n 2n
）-1 2n
，n 2n
即Tn=4(1-
) -1 2n
=4-2n 2n
（12分）n+2 2n-1
所以Sn=Tn+n2+n=4-
+n2+n（13分）n+2 2n-1