问题
选择题
设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=
|
答案
∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得
=f(1)=a1=f(n+1) f(n) 1 2
∴
=an+1 an 1 2
∴{an}是以
为首项，1 2
为公比的等比数列1 2
∴an=1 2n
∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴bn+1-bn=g（1）=b1=1
∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴bn=n
∴数列{anbn}的前n项和为Sn=1×
+2×1 2
+…+n×1 22 1 2n
∴
Sn=1×1 2
+2×1 22
+…+（n-1）×1 23
+n×1 2n 1 2n+1
两式相减可得
Sn=1×1 2
+1×1 2
+1×1 22
+…+1 23
-n×1 2n 1 2n+1
∴Sn=2-
-1 2n-1 n 2n
故选D．