问题
解答题
已知在数列{an}中，Sn是前n项和，满足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），求数列{bn}的前n项和Tn．
答案
（Ⅰ）∵Sn+an=n，
∴a1=
，a2=1 2
，a3=3 4
．…（3分）7 8
（Ⅱ）∵a1+a2+a3+…+an-1+an=n-an，…①
a1+a2+a3+…+an+an+1=n+1-an+1，…②
②-①得2an+1-an=1，
即an+1-1=
（an-1）．…（5分）1 2
又a1-1=-
，1 2
∴数列{an-1}是以-
为首项，以1 2
为公比的等比数列．…（7分）1 2
∴an-1=（-
）(1 2
)n-1=-(1 2
)n，1 2
可得an=1-(
)n．…（8分）1 2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an=1-(
)n，1 2
∵bn=（2-n）（an-1）=（2-n）[-(
)n]=1 2
，…（10分）n-2 2n
所以数列{bn}的前n项和Tn=
+-1 2
+0 22
+…+1 23
．…①n-2 2n
所以
Tn=1 2
+-1 22
+0 23
+…+1 24
．…②…（12分）n-2 2n+1
①-②得
Tn=1 2
+-1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n
=-n-2 2n+1
．n 2n+1
所以Tn=-
．…（14分）n 2n