化简Sn=n+（n-1）×2+（n-2）×22+…+2×2n-2+2n-1的结果

问题选择题

化简S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1的结果是（　　）

A．2ⁿ⁺¹+n-2

B．2ⁿ⁺¹-n+2

C．2ⁿ-n-2

D．2ⁿ⁺¹-n-2

答案

∵S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1…①

2S_n=n×2+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-1+2ⁿ…②

∴①-②式得；-S_n=n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=n+2-2ⁿ⁺¹

∴S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1n+2-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n-2

故选D．