问题
解答题
已知数列{an}满足：an+1=an+(
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若cn=2n-1（n∈N*），求数列{bn•cn}的前n项和Sn． |
答案
（Ⅰ）∵an+1=an+(
)n+1(n∈N*)，且a1=1，1 2
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+(
)2+(1 2
)3+…+(1 2
)n=1+1 n
=
[1-(1 4
)n-1]1 2 1- 1 2
-(3 2
)n．1 2
又∵当n=1时，上式也成立，∴an=
-(3 2
)n(n∈N*)．1 2
（Ⅱ）∵bn=
an-1 2
=3 4
[1 2
-(3 2
)n]-1 2
=-3 4
n+1(n∈N*)，1 2
又∵cn=2n-1(n∈N*)，
∴Sn=b1•c1+b2•c2+…+bn•cn
∴Sn=-(
)2-3×(1 2
)3-5×(1 2
)4-…-(2n-1)×(1 2
)n+1①1 2
∴
Sn=-(1 2
)3-3×(1 2
)4-…-(2n-3)×(1 2
)n+1-(2n-1)×(1 2
)n+2②1 2
①-②得：
Sn=-(1 2
)2-2×(1 2
)3-2×(1 2
)4-…-2×(1 2
)n+1+(2n-1)×(1 2
)n+21 2
=-
-2[(1 4
)3+(1 2
)4+…+(1 2
)n+1]+(2n-1)(1 2
)n+2=-1 2
+3 4 2n+3 2n+2
∴Sn=-
+3 2
．2n+3 2n+1
