问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn为{bn}的前n项和，求证：2Tn＞log2（2an+1）n∈N． |
答案
（Ⅰ）已知式即Sn=
anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=1 2
an+1an+2-1 2
anan+1．1 2
由条件知an+1≠0，所以an+2-an=2（n∈N*）．
由于a1=S1=
a1a2，且a1=1，故a2=2．1 2
于是a2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a2m=2+2（m-1）=2m，
所以an=n（n∈N*）．
（Ⅱ）由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=
，2n 2n-1
故bn=log2
．2n 2n-1
从而Tn=b1+b2++bn=log2(
•2 1
•4 3
••6 5
)．2n 2n-1
2Tn=2log2(
•2 1
•4 3
••6 5
)=log2(2n 2n-1
•2 1
•4 3
••6 5
)22n 2n-1
因此2Tn-log2（2an+1）=log2(
•2 1
•4 3
••6 5
)2-log2（2n+1）2n 2n-1
=log2(
•2 1
•4 3
••6 5
)2+log22n 2n-1 1 2n+1
=log2[(
•2 1
•4 3
••6 5
)2•2n 2n-1
]．1 2n+1
设f(n)=(
•2 1
•4 3
••6 5
)2•2n 2n-1
，1 2n+1
则f(n+1)=(
•2 1
•4 3
••6 5
•2n 2n-1
)2•2n+2 2n+1
，1 2n+3
故
=f(n+1) f(n)
•(2n+1 2n+3
)2=2n+2 2n+1
=(2n+2)2 (2n+3)(2n+1)
＞1，4n2+8n+4 4n2+8n+3
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地f(n)≥f(1)=
＞1，4 3
从而2Tn-log2（2an+1）=log2f（n）＞0．
所以2Tn＞log2（2an+1）．