问题
解答题
已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值； （Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n； （Ⅲ）求证：|b2n-bn|＜
|
答案
（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，
所以b1=4．b2=
，b3=17 4 72 17
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an
得
=4+an+2 an+1
即bn+1=4+an an+1 1 bn
所以当n≥2时，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论|b2-b1|=
＜1 4
成立17 64
当n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
-4-1 bn
|=|1 bn-1
|≤bn-bn-1 bnbn-1
|bn-bn-1|≤1 17
|bn-1-bn-2|≤1 172
|b2-b1|＜1 17n-1
•1 64
(n≥2)1 17n-2
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
[(1 4
)n-1+(1 17
)n+(1 17
)2n-2]=1 17
•1 4
＜(
)n-1(1-1 17
)1 17n 1- 1 17
•1 64
(n∈N*)1 17n-1