问题
解答题
已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=
（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式； （2）设an=nf(n)
（3）设bn=
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答案
（1）由题设得：f(n+1)=f(n)•f(1)=
f(n)．1 2
∴数列{f（n）}是以 f(1)=
为首项，1 2
为公比的等比数列．1 2
f(n)=
×(1 2
)n-1=(1 2
)n．（4分）1 2
（2）设Tn=a1+a2+…+an
∵an=n•f(n)=n•(
)n（n∈N*）．1 2
∴Tn=1×
+2×(1 2
)2+3×(1 2
)3++n×(1 2
)n1 2
Tn1 2
=1×(
)2+2×(1 2
)3++(n-1)×(1 2
)n+n×(1 2
)n+11 2
两式相减得：
Tn=1 2
+(1 2
)2+(1 2
)3++(1 2
)n-n×(1 2
)n+11 2
=
-n×(
×(1-1 2
)1 2n 1- 1 2
)n+1=1-1 2
．n+2 2n+1
∴Tn=2-
＜2．（10分）n+2 2n
（3）∵bn=
=nf(n+1) f(n)
=n•(
)n+11 2 (
)n1 2
n，1 2
∴Sn=
(1+2+3+…+n)1 2
=
×1 2
(n+1)n 2
=
．n(n+1) 4