已知数列{an}中，a1=1，Sn其前n项和，且an+1=2Sn+n2-n+1，

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n其前n项和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1，

①设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；

②求数列{a_n}的通项公式．

答案

①∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，

∴n≥2时，a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1，

两式相减可得a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，

∵a₁=1，∴a₂=3，也满足上式，怎么

∴a_n+1-3a_n=2n-2

∴n≥2时，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2

∵b_n=a_n+1-a_n，∴两式相减可得，n≥2时，b_n-3b_n-1=2

∴b_n+1=3（b_n-1+1）

∵b₁+1=3≠0，∴{b_n+1}是以3为公比，3为首项的等比数列

∴b_n+1=3ⁿ，

∴b_n=3ⁿ-1，

∴T_n=

3(1-3n)

1-3

-n=

•3n+1-n-

；

②由①知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1

∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）=

(3n+1)-n