在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a2n=an-1an+1，n

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a

=an-1an+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和Sn
（III）是否存在正整数对（m，n），使等式

-man+4m=0成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

答案

（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列

∵a₁=2，a₂=4

∴q=

∴an=a1qn-1=2ⁿ

（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ

∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n

2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹

两式相减可得，-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1

=2-

8(1-2n)

1-2

-(2n-1)•2n+1

=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹

∴Sn=(2n-3)•2n+1+6

（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式an2-man+4m=0

∵an=2n

∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立

∵m∈N^*∴2ⁿ＞4

∴m=

22n

2n-4

22n-16+16

2n-4

=2n-4+

2n-4

+8≥16

当且仅当2ⁿ-4=4即n=3时取等号

∵2ⁿ＞4

∴

2n-4

∈N*

∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此时均无解

故符合题意的正整数对只有（16，3）