问题
解答题
| 已知数列{an}中，对一切自然数n，都有an∈（0，1）且an•an+12+2an+1-an=0．求证： （1）an+1＜
（2）若Sn表示数列{an}的前n项之和，则Sn＜2a1． |
答案
（1）由已知an•an+12+2an+1-an=0得an=
，2an+1 1-an+12
又因为an∈（0，1），所以0＜1-an+12＜1，因此an＞2an+1，即an+1＜
an（6分）1 2
（2）由结论（1）可知an＜
an-1＜1 2
an-2＜…＜1 22
a1，即an＜1 2n-1
a1，1 2n-1
于是Sn=a1+a2+…+an＜a1+
a1+…+1 2
a1=a1•1 2n-1
＜ 2a1，1- 1 2n 1- 1 2
即Sn＜2a1（14分）