设数列{a_n}的公差为d，由题意得，

a1+2d=3 6a1+15d=21

，解得

a1=1 d=1

，

∴a_n=n，且

1

an

=

1

n

，

∴S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，

令T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，

则Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，

即Tn+1-Tn=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0

∴T_n+1＞T_n，

则T_n随着n的增大而增大，即T_n在n=1处取最小值，

∴T₁=S₂-S₁=

1

2

，

∵对一切n∈N^*，恒有S2n-Sn＞

m

16

成立，

∴

1

2

＞

m

16

即可，解得m＜8，

故m能取到的最大正整数是7．