（Ⅰ）由题设得：n≥2时，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．

所以a_n=（a-1）c^n-1+1．

当n=1时，a₁=a也满足上式．

故所求的数列{a_n}的通项公式为：a_n=（a-1）c^n-1+1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(

1

2

)n.Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n，

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4++n(

1

2

)n+1

∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1．

∴Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n

所以∴Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．

若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，则0＜（1-a）c^n-1＜1．

因为0＜a₁=a＜1，∴0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．

由于c^n-1＞0对于任意n∈N₊成立，知c＞0．

下面用反证法证明c≤1．

假设c＞1．由函数f（x）=c^x的图象知，当n→+∞时，c^n-1→+∞，

所以cn-1＜

1

1-a

不能对任意n∈N₊恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1