问题
解答题
已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{an}，{bn}，{cn}满足条件：a1=1，an=f（bn）=g（bn+1）（n∈N*），cn=
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Tn，并求使得Tn＞
（Ⅲ）求证：
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答案
（Ⅰ）由题意an+1=4bn+1+1，an=2bn+1，
∴an+1=2an+1，（2分）
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（4分）
∴．an+1=2×2n-1
∴an=2n-1．（5分）
（Ⅱ）∵cn=
=1 (2n+1)(2n+3)
(1 2
-1 2n+1
)，（7分）1 2n+3
∴Tn=
(1 2
-1 3
+1 5
-1 5
++1 7
-1 2n+1
)=1 2n+3
(1 2
-1 3
)=1 2n+3
=n 3×(2n+3)
．（8分）n 6n+9
∵
=Tn+1 Tn
•n+1 6n+15
=6n+9 n
＞1，6n2+15n+9 6n2+15n
∴Tn＜Tn+1，n∈N*．
∴当n=1时，Tn取得最小值
．（10分）1 15
由题意得
＞1 15
，得m＜10．m 150
∵m∈Z，
∴由题意得m=9．（11分）
（Ⅲ）证明：
∵
=ak ak+1
=2k-1 2k+1-1
-1 2
=1 2(2k+1-1)
-1 2
≥1 3×2k+2k-2
-1 2
•1 3
，1 2k
k=1，2，3，，n（12分）
∴
+a1 a2
++a2 a3
≥an an+1
-n 2
(1 3
+1 2
++1 22
)=1 2n
-n 2
(1-1 3
)．1 2n
∴
+a1 a2
++a2 a3
＞an an+1
-n 2
（n∈N*）．（14分）1 3