由题设函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+

2

))=2．

得2log2(1+

2

)+a×2-|log2(1+

2

)|=2    ①

∵log2(1+

2

)＞0

∴①式可变为1+

2

+a×

1

1+ 2

=1+

2

+a（1-

2

）=2

故有1+a+

2

（1-a）=2，a（1-

2

）=1-

2

，解得a=1

所以   f（x）=2^x+2^-|x|

当存在x₀∈[1，2]时，使不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0恒成立，即2^3x+2^-x+m（2^x+2^-x）≥0成立，

即2^4x+1+m（2^2x+1）≥0成立，即-m≤

24x+1

22x+1

=2^2x+1-2+

2

22x+1

≤

257

17

故m≥-

257

17

故应选B．