设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2-an，数列{bn}满足bn=
（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的通项公式； （3）求数列{
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（本小题满分14分）
证明：（1）当n=1时，a1=S1=2-a1，解得a1=1． …（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-1-an，即2an=an-1．
∴
=an an-1
(n≥2)． …（2分）1 2
∴数列{an}是首项为1，公比为
的等比数列，即an=(1 2
)n-1，n∈N*． …（4分）1 2
（2）b1=2a1=2． …（5分）
∵bn=
，bn-1 1+bn-1
∴
=1 bn
+1，即1 bn-1
-1 bn
=1(n≥2)． …（6分）1 bn-1
∴{
}是首项为1 bn
，公差为1的等差数列． …（7分）1 2
∴
=1 bn
+(n-1)•1=1 2
，bn=2n-1 2
…（8分）2 2n-1
（3）∵an+2=(
)n+1，bn=1 2 2 2n-1
则
=2n(2n-1)． …（9分）1 an+2bn
所以Tn=
+22 b1
+23 b2
+…+24 b3
+2n bn-1
，…（10分）2n+1 bn
即Tn=21×1+22×3+23×5+…+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1)，①…（11分）
则2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1)，②…（12分）
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1，…（13分）
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-
=2n+1×(2n-3)+6． …（14分）23(1-2n-1) 1-2